Dyskonto proste (rzeczywiste) – teoria i przykłady

Teoria wartości pieniądza w czasie – dyskonto proste (rzeczywiste)

W poprzednim artykule przedstawiona została zasada procentu prostego. Jej zastosowanie umożliwia odszukanie wartości przyszłej kapitału początkowego. W tym wpisie przedstawię działanie odwrotne do procentu prostego – dyskontowanie proste.

Dyskontowanie proste polega na odszukaniu wartości kapitału początkowego przy znanej wartości kapitału końcowego. W dużym uproszczeniu, ta zasada pozwala na uzyskanie odpowiedzi na następujące pytanie: ile muszę zaoszczędzić teraz, aby uzyskać określoną kwotę w przyszłości? Ważne jest, aby nie mylić dyskontowania prostego (rzeczywistego) z dyskontem prostym (handlowym), które opiszę w odrębnym wpisie.

Należy pamiętać, że w dyskontowaniu prostym nie występuje zjawisko kapitalizacji. To znaczy, że np. zakładamy, iż odsetki wypacane są jednorazowo na końcu inwestycji (czyli odsetki nie generują innych odsetek).

 

Dyskonto proste (rzeczywiste) – istota i wzory

Proces dyskontowania prostego polega na odszukaniu wartości kapitału początkowego przy znanej wartości kapitału końcowego. Należy zatem wyjaśnić podstawowe pojęcia, które związane są z omawianą procedurą:

• Kapitał początkowy („P ”) – jak sama nazwa wskazuje są to środki, które zamierzamy zainwestować. W przypadku dyskontowania prostego będzie to wartość poszukiwana, ponieważ chcemy określić ile musimy zainwestować, żeby w rezultacie tego procesu otrzymać daną wartość kapitału końcowego.
• Kapitał końcowy („F ”) – wielkość kapitału, który jest rezultatem inwestycji. W uproszczeniu można go opisać jako kapitał, który chcielibyśmy otrzymać na końcu inwestycji. To znaczy, że uwzględnia on wniesiony wkład początkowy (kapitał początkowy) i odsetki, które zarobiliśmy.
• Dyskonto („D ”) – jest to różnica występujące pomiędzy kapitałem końcowym i początkowym (D = F – P).
• Roczna stopa procentowa („i ”) – roczne oprocentowanie, np. rachunku bankowego.
• Czas („t ”) – czas wyrażony w latach (np. 25 dni w latach będzie równe 25/365, 12 tygodni będzie równe 12/52, trzy kwartały to ¾ itd.).

Znając wszystkie wartości występujące we wzorach, można przedstawić odpowiednie formuły. W pierwszej kolejności należy przypomnieć zasadę procentu prostego[1]:

 

W dyskontowaniu prostym wartością szukaną jest „P ”, dlatego też w wyniku przekształcenia powyższego wzoru wiemy, że[2]:

Z punktu widzenia przedstawionej zasady dyskonta protego bardzo ważne jest obliczenie wartości dyskonta „D ” – różnicy występującej pomiędzy kapitałem końcowym „F ” i początkowym „P ”. Formułę na dyskonto można łatwo wyprowadzić przekształcając zaprezentowane powyżej wzory[3]:

Dyskonto proste (rzeczywiste) – przykłady

Omawianą zasadę dyskonta prostego warto jest przedstawić na przykładach. Dlatego tez rozważone zostaną dwa przypadki – lokaty bankowej i pożyczki krótkoterminowej. W przykładach ustalona zostanie wartość kapitału początkowego i dyskonta. Rozważmy zatem wspomniane przypadki (są to przykłady analogiczne do tych, które przedstawiłem w artykule o procencie prostym):

• Przykład 1 – Pożyczając znajomemu pieniądze na okres 15-stu dni chcielibyśmy otrzymać od niego 10041,10 zł. Wiemy, że nie zgodzi się na oprocentowanie wyższe niż 10% w skali roku. Ile musimy mu pożyczyć dziś, żeby oddał nam 10041,10 zł po 15 dniach? Obliczenia należy przeprowadzić w następujący sposób (zaokrąglam do 2 miejsc po przecinku):

• Przykład 2 – Bank oferuje półroczną lokatę oprocentowaną 6% w skali roku. Jaką kwotę musielibyśmy umieścić na lokacie teraz, aby za 6 miesięcy móc wypłacić 51500 zł. Należy zaznaczyć, że lokata jest likwidowana po półrocznym okresie, a odsetki wypacane są jednorazowo w chwili likwidacji. Obliczenia należy przeprowadzić w następujący sposób (zaokrąglam do 2 miejsc po przecinku):

Dyskonto proste (rzeczywiste) – przykłady w arkuszu kalkulacyjnym Microsoft Excel

Obliczenia można przeprowadzić w arkuszu kalkulacyjnym. Podobnie jak w przypadku procentu prostego nie wykorzystuje się żadnych funkcji. Wzory trzeba wprowadzić manualnie w arkusz kalkulacyjny. Na poniższych grafikach zamieszczone zostały wyniki obliczeń oraz formuły. Przypominam, ze na końcu artykułu znajduje się plik xlsx z rozwiązanymi przykładami.

 

Podsumowanie i plik arkusza Microsoft Excel z przykładami

Zasada dyskontowania prostego (rzeczywistego) znajduje zastosowanie w praktyce. Na przykład, ta koncepcja ma bardzo duże znaczenie przy wycenie krótkoterminowych instrumentów rynku pieniężnego takich jak bony skarbowe. Razem z zasadą procentu prostego jest ona bardzo dobrym wstępem do koncepcji oprocentowania składanego, którą opiszę w kolejnych wpisach. Dla zainteresowanych zamieszczam plik arkusza kalkulacyjnego z przykładami, które zostały przedstawione w artykule.

Dyskonto proste (rzeczywiste) – przykłady

 

Źródła:

[1] Wstęp do teorii wartości pieniądza w czasie – procent prosty

[2] Zob. M.L. Lial, T.W. Hungerford, J.P. Holcomb, B. Mullins,  „Mathematics with Applications In the Management, Natural and Social Sciences”, Pearson, 2014, s. 228.

[3] Zob. M. Podgórska, J. Klimkowska, „Matematyka finansowa”, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, s.31.