FV, czyli wartość przyszła – procent składany – wzór i przykłady

Wartość przyszła pojedynczego przepływu pieniężnego – procent składany

We wcześniej opublikowanych artykułach dotyczących teorii wartości pieniądza w czasie opisane zostały przykłady zastosowania dwóch zasad: procentu prostego i dyskonta prostego.  W praktyce te podejścia często nie są wystarczające do przeprowadzenia analizy wielu problemów związanych z teorią wartości pieniądza w czasie. Mianowice, w przypadku oprocentowania prostego nie uwzględnia się wypłaty odsetek np. w trakcie trwania lokaty. Natomiast, w rzeczywistości klient banku otrzymuje odsetki co jakiś czas (np. co miesiąc). W tym artykule postaram się na przykładach wyjaśnić, na czym polega zjawisko oprocentowania złożonego.

Idea oprocentowania składanego jest bardzo intuicyjna. Na przykład, lokując wolne środki w banku oczekujemy, że co pewien okres czasu (np. co miesiąc) będą nam wypłacane odsetki. Po każdej wypłacie, nasz początkowy kapitał zostanie powiększony o określoną kwotę. To znaczy, że odsetki będą wypłacane na to samo konto, na które wpłaciliśmy depozyt. Dlatego też, odsetki w każdym kolejnym okresie będą coraz wyższe. Oczywiście pod warunkiem, że nie będziemy dokonywać żadnych wypłat.

Procent składany – podstawowe pojęcia

Przed przedstawieniem przykładów zastosowania zasady oprocentowania składanego wyjaśnię znaczenie kilku pojęć, którymi będę się posługiwał w tym i w kolejnych artykułach dotyczących wartości pieniądza w czasie.

Pojęcia podstawowe:

• Kapitał początkowy (PV) – w przypadku oprocentowania składanego (oraz w artykule) nazywany jest wartością obecną „PV” (present value). Może być to, na przykład, pierwsza wpłata na lokatę bankową, czyli wielkość zainwestowanego kapitału.
• Kapitał końcowy (FV) – (inaczej wartość przyszła, „FV” – future value) – jest to wysokość kapitału po zakończeniu danego przedsięwzięcia, np. długoterminowej lokaty. Można stwierdzić, że jest to wniesiony przez nas kapitał początkowy, który został powiększony o narosłe odsetki.
• Kapitalizacja – Technicznie rzecz ujmując kapitalizacja odsetek polega na ich przekształceniu w kapitał. W praktyce, może to być na przykład wypłata odsetek na to samo konto, na którym ulokowany został kapitał początkowy. Po ich zaksięgowaniu wartość kapitału rośnie, dlatego też w kolejnym okresie wartość odsetek będzie wyższa.
• Okres kapitalizacji – to pojęcie związane jest z częstotliwością z jaką wypłacane są odsetki – np. co miesiąc (więc okres kapitalizacji wynosi 1 miesiąc). Inaczej jest to czas, po którym wypłacone odsetki powiększają wartość kapitału początkowego.
• Liczba kapitalizacji w roku (n) – wartość tego parametru zależy od przyjętego okresu kapitalizacji. Ukazuje ona, ile tych okresów jest w jednym roku. Na przykład, gdy okresem kapitalizacji jest miesiąc to „n” będzie równe 12, ponieważ w jednym roku jest 12 miesięcy.
• Liczba lat (t) – czas trwania lokaty wyrażony w latach.
• Oprocentowanie roczne (i) – czyli nominalna roczna stopa procentowa (nominal annual interest rate). Zaznaczam, że w niektórych opracowaniach wykorzystuje się literę „r”, niemniej jednak, korzystam z litery „i” w celu uniknięcia pomyłek przy opisywaniu annuitetów (inaczej rent),  ponieważ w ich przypadku literą „r” bardzo często określana jest stopa okresowa.

 

Pojęcia pomocnicze (dodatkowe):

• Stopa okresowa (r ; RATE) – nominalna stopa procentowa przypadająca na jeden okres, iloraz oprocentowania rocznego i liczby kapitalizacji w roku (i/n).
• Liczba okresów (NPER; number of periods) – jednostka pomocnicza, która oznacza liczbę wszystkich okresów kapitalizacji. Na przykład, jeżeli odsetki wypłacane są co miesiąc przez 3 lata to NPER wyniesie 36 (t x n= 3 x 12). Należy zaznaczyć, że liczba okresów NPER jest argumentem funkcji arkusza kalkulacyjnego, której zastosowanie również zostanie przedstawione w serii artykułów poświęconych tematyce wartości pieniądza w czasie.

 

Istota oprocentowania składanego

Koncepcje oprocentowania składanego najłatwiej jest wyjaśnić na przykładzie – ukazując obliczenia z wykorzystaniem odpowiedniego wzoru. Niemniej jednak, w pierwszej kolejności zaprezentowana zostanie intuicja leżąca u podstaw tego zjawiska. Mianowicie, same obliczenia nie są skomplikowaną procedurą – bardzo łatwo jest podstawić liczby do wzoru. Najważniejsze jednak jest, aby zrozumieć jak działa zasada oprocentowania składanego, ponieważ w ten sposób można tą teorie wykorzystać w praktyce.

Rozważmy zatem hipotetyczną lokatę o następujących parametrach: na konto wpłacono 10000 zł, oprocentowanie jest równe 50% w skali roku, natomiast czas trwania tej lokaty wynosi 2 lata. Rozumiem, że przyjęte oprocentowanie jest niewyobrażalnie wysokie, jednak zastosowałem taką wielkość, ponieważ przy dużych wartościach stopy oprocentowania łatwiej jest zaprezentować istotę zjawiska kapitalizacji na wykresie. Gdyby nie stosować tego zjawiska i wykorzystać tzw. procent prosty to wartość wniesionego wkładu po dwóch latach wyniosłaby 20000 zł. Niemniej jednak, tak się nie stanie w przypadku oprocentowania składanego. Należy zatem przeanalizować sytuację przykładowej lokaty rok po roku:

• t = 0 – W okresie zerowym wpłacone zostały pieniądze na konto w kwocie 10000 zł.
• t = 1 – Po pierwszym roku wypłacone zostały odsetki, które wynoszą 50% wysokości wniesionego kapitału początkowego, czyli 5000zł. W tym momencie zachodzi zjawisko kapitalizacji odsetek i zostają one przekształcone w kapitał. Oznacza to, że od tej pory, kolejne odsetki będą generowane od kwoty 15000 zł (10000 zł + 5000 zł).
• t = 2 – Rok później naliczone zostają kolejne odsetki przy niezmienionym oprocentowaniu, które wynosi 10%. To oznacza, że wyniosą one w tym okresie 7500 zł (15000 x 50% = 7500). Pod koniec drugiego roku lokata zostaje zamknięta, dlatego też wartość kapitału końcowego wyniesie 22500 zł (15000 + 7500 = 22500).

 

Przykład ukazuje, że gdyby lokata miała dłuższy czas trwania to w każdym kolejnym okresie wartość odsetek (a także kapitału – w drodze kapitalizacji) byłaby coraz wyższa. Na rysunku zamieszczonym poniżej graficznie zaprezentowano opisaną sytuację.

FV (wartość przyszła) – wzór i przykłady

Zastosowanie zasady oprocentowania składanego nie wymaga rozpisywania wartości kapitału i odsetek w poszczególnych latach, tak jak zostało to przedstawione na wykresie. Mianowicie, możliwe jest wykorzystanie bardzo prostego wzoru, który uwzględnia wszystkie wykorzystane wartości. Jest on bardzo często opisywany w podręcznikach akademickich i przyjmuje następującą postać[1]:

Zaznaczam, że powyższy wzór odnosi się do kalkulacji przyszłej wartości pojedynczego przepływu pieniężnego – np. przekazujemy jednorazowo środki na lokatę i nic nie dopłacamy w późniejszym terminie. Dodatkowo, powyższy wzór znajduje zastosowanie jedynie wtedy, gdy odsetki wypłacane są raz w roku. Gdy, klient otrzymuje je częściej to stosuje się model kapitalizacji podokresowej, który został przedstawiony w innym artykule.

Zastosowanie oprocentowania składanego najłatwiej jest zaprezentować na przykładach. Pierwszy bazuje na danych, które uwidoczniono na zamieszczonym wcześniej wykresie. Natomiast drugi uwzględnia bardziej realistyczne informacje. Przed zaprezentowaniem przykładów wyjaśnię, że zastosowanie omawianej zasady procenta składanego da odpowiedź na następujące pytanie – ile uda mi się zaoszczędzić, gdy odłożę kwotę X na okres Y lat na lokatę oprocentowaną Z procent w skali roku? Proszę przeanalizować następujące przykłady:

• Przykład 1 – klient pewnego banku zakłada lokatę i przekazuje środki w wysokości 10000 zł, na okres dwóch lat. Oprocentowanie w skali jednego okresu wynosi 50%, natomiast odsetki wypłacane są po upływie każdego roku. Jaka będzie wartość oszczędności klienta banku po okresie 2 lat?

• Przykład 2 – Do banku wpłacono kwotę 3759,29 zł na okres 3 lat. Oprocentowanie roczne depozytu wynosi 3,2% (inaczej 0,032). Wartość przyszłą tego kapitału można obliczyć w następujący sposób:

 

FV (wartość przyszła) – funkcja „FV” MS Excel – przykład obliczeń

Do obliczenia przedstawionych wcześniej przykładów można wykorzystać również arkusz kalkulacyjny. Wzór na wartość przyszłą można z łatwością przenieść bezpośrednio do odpowiedniej komórki i przeprowadzić obliczenia. Dodatkowo, Microsoft Excel zawiera wbudowaną funkcję finansową „FV”, która zwraca prawidłowy rezultat bez konieczności przepisywania wzorów. Zgodnie z dokumentacją Microsoft Office ma ona następującą składnie:

 

FV(stopa;liczba_okresów;rata;[wb];[typ])

 

• Stopa – jest to np. oprocentowanie lokaty,
• Liczba okresów – liczba wszystkich okresów kapitalizacji. Na przykład, jeżeli jest powierzono pieniądze bankowi na dwa lata, a odsetki wypłacane są raz do roku to wartość tego argumentu jest równa 2. Liczba okresów ma większe znaczenie, gdy korzysta się z tzw. modelu kapitalizacji podokresowej.
• Rata – to argument dotyczący rent. Nie zostanie on wykorzystany w przypadku zaprezentowanych przykładów. Dotyczy on sytuacji, w której cyklicznie wpłacane są pieniądze na konto. Np., gdy co miesiąc przez 3 lata wpłacamy 500 zł – to jest renta, lub inaczej annuitet (z języka angielskiego – annuity).
• [wb] – wartość bieżąca, inaczej wartość obecna (PV; present value) – jest to kapitał początkowy. Należy pamiętać, żeby w oabliczeniach ta wartość była ujemna – w ten sposób zaprogramowano funkcje FV. Konieczność wprowadzenia ujemnej wartości kapitału początkowego można wytłumaczyć, jako odpływ gotówki – mianowicie, wydajemy pieniądze teraz, żeby otrzymać określoną korzyść.
• [typ] – ten argument również dotyczy cyklicznych płatności (raty), ponieważ określa kiedy one następują. Wartość równa zeru oznacza, że płatność występuje „z dołu” (na końu okresu), natomiast 1 „z góry (na początku okresu). W przypadku zaprezentowanych przykładów, można pominąć argument „typ”.

 

Przykłady zastosowania funkcji FV

Obliczenia przeprowadzone zostały na bazie identycznych danych, które wykorzystano we wcześniej zaprezentowanych przykładach.  W arkuszu zastosowano funkcję FV, a także wprowadzono wzór ręcznie. Zanim przedstawione zostaną grafiki ukazujące rezultaty należy wyjaśnić, że argumentami w przykładach były:

• Przykład 1:
  • Stopa = 50%,
  • Liczba okresów = 2 (rozważana jest dwuletnia lokata, natomiast odsetki wypłacane są raz w roku),
  • Rata – argument pominięto ponieważ płatność cykliczna nie występuje,
  • [wb] = -10000 (znak minus postawiono w składni funkcji FV, przy odwołaniu do komórki w której wprowadzono wartość bieżącą „PV”),
  • [typ] – argument pominięto.
• Przykład 2:
  • Stopa = 3,2%,
  • Liczba okresów = 3 (ponieważ rozważana jest trzyletnia lokata, a odsetki płatne są raz w roku),
  • Rata – argument pominięto (tj. w przykładzie nr 1),
  • [wb] = -3759,29 (znak minus wprowadzono do formuły w taki sam sposób jak w przykładzie nr. 1),
  • [typ] – argument pominięto.

 

Wyniki obliczeń zaprezentowano na poniższym rysunku. Dodatkowo, zawiera on zestawienie formuł, które wprowadzono do poszczególnych komórek. Obliczenia przeprowadzono dwukrotnie: manualnie wprowadzając wzory i z wykorzystaniem funkcji „FV”. Przykład nr 1 został obliczony w kolumnie „B”, a przykład nr 2 w kolumnie „C”.

Podsumowanie

Model procenta składanego jest bardzo istotnym elementem wielu technik analitycznych. Niemniej jednak, zanim odwołam się do konkretnych przykładów przedstawię inne koncepcje związane z teorią wartości pieniądza w czasie. Mianowice, należy zaliczyć do nich m.in. kapitalizację podokresową, którą dokładniej przedstawię w kolejnym artykule z serii. Na koniec zamieszczam plik MS Excel z przykładami.

FV – wartość przyszła pojedynczego przepływu pieniężnego

 

Źródła:

[1] Zob. np.  M.L. Lial, et al. „Mathematics with Applications in the Management, Natural and Social Sciences”, Pearson, 2014, s. 228.